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| Zusammenwirken der Kräfte |
Die Betrachtung der Compositionis sowohl als Decompositionis
Virium ist in der Mechanic von überaus grosser Folge, in dem die
Bewegung in denen krummen Linien, bey deren Bewerckstelligung, oben ermeldeter
Massen, mehr als eine Krafft vonnöthen ist, hieraus hergeleitet, und derer
Beschaffenheit erwiesen werden
muß. |
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| Gravitations-Zentrum |
Unter dem
Titel Grauitatis Centrum
Tom. XI. p. 728. seqq.
haben wir bereits, die
Existentz und Beschaffenheit des Centri
Grauitatis in einem oder mehrern unter sich combinirten
Cörpern
daraus
dargethan. Wir adplicirten daselbst zwey Kräffte ac, ab,
in deren ersten Figur ermeldeten Titels p. 729. in conuergirenden
Directions-Linien AM, AN, nach welchen eine Fläche, QRST.
so wir ohne Schwere
concipirten, gezogen wurde; da es nun einerley ist, ob ein Cörper
von zweyen Kräfften nach
verschiedenen Directions-Linien,
oder ob eine Fläche unter eben diesen
Umständen gezogen wird; so
sagten wir
daselbst, daß der gäntzliche Zug sich nach einer Linie AD. äussern
würde, welche die Diagonal-Linie des Parallelogrammi ABDC.
ist, dessen Seiten AB. AC. die an der Fläche arbeitenden Kräffte
vorstellete; wann solches aus der bißher angeführten
Theorie de Compositione
Virium
nothwendig erfolgen
muß. |
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Es wurde darauf an eben demselben
Orte erwiesen, daß die Kräffte ac, ab,
sich reciprocè wie die Perpendicular-Linien DM, DN,
so aus einem angenommenen Puncte D. der mittlern Direction AD.
auf die Directions-Linien AM, AN, derselbigen Kräffte ac,
ab, herabgelassen worden, das ist, ac : ab = DN
: DM. sich
verhielten. Da nun nach der Linie AD. sich der
gäntzliche Druck äus- |
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{Sp. 1701|S. 847} |
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sert, der aus beyden nach ihren Directionen arbeitenden Kräfften
ac. ab, entspringt, so darf man nur in D. ein Obstaculum
oder Fulcrum entgegen stellen; so kan sich die Fläche QRST,
die von denen Kräfften ac, ab, gezogen wird, nicht bewegen, in dem
dieses nach der Linie AD. geschehen müste, welches aber das in D.
entgegen gestellte Fulcrum verhindert. |
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Es halten demnach die Kräffte ac, ab, in dieser ihrer
Adplication nach denen Directionen MC, NB, die
Gleich-Wage über dem bey D. untergesetzten Fulcro; dahero, da
dieses unter der Condition geschehe, daß sich die Krafft ac zu
der Krafft ab verhielte, wie DN, zu DM, das ist, wie
die Entfernung der letztern Krafft ab von der Directions-Linie
AD. der Total-Pression (als welche Entfernung man durch eine
solche Perpendicular-Linie abzumässen pfleget) zu der Entfernung DM.
der erstern Krafft ac von eben derselbigen Linie AD; so siehet
man wohl unter was vor Umständen man auf das Aequilibrium zweyer
Kräffte argumentiren könne. |
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Es sey in beygesetzter Figur CDB. ein in D. nach einem
Winckel zusammen gefügtes Holtz, so einen Vectem angularem repraesentirt,
und welches wir als eine steiffe Linie, oder vielmehr als zwey in D.
zusammen gefügte steiffe Linien CD, DB, und ohne Schweren betrachten
wollen. An denen Puncten C. und B. sollen zwey Fäden CR,
BS, angebunden und über Rollen bey R. und S. gezogen
seyn, um die Gewichte P. und Q. daran |
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[Figur] |
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zu hangen; dergestallt, daß das Gewichte P. nach der Direction
CR. den Punct C; und das Gewichte Q. nach der Direction
BS. den Punct B. zühe. An dem
Orte D, wo CD.
und DB. die Spitze des Winckels formiren, sey ein Fulcrum
F. untergestellet. |
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Es ist nun die
Frage, unter was vor Umständen werden nun diese Kräffte oder
Gewichte P. Q. in dieser ihrer Adplication an denen Puncten
C. B. das Aequilibrium mit einander halten? Es ist klar, daß,
wenn solches Statt finden soll, die Directions-Linie, nach welcher sich
der gäntzliche Druck beyder Kräffte äussert, durch den Punct D. gehen
müsse, damit oben ermeldeter Massen, der Wiederstand des Fulcri F.
denselben gäntzlichen Druck aufhalten könne. |
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Wenn aber der Punct D. in der Direction der Total-Pression
lieget, und es sind DN, DM, perpendicular-Linien auf die
Directiones BS. CR. derer Kräffte Q. P; so verhielte sich
gedachter Massen die Krafft P. zu der Krafft Q. wie DN.
der Perpendicel auf der Direction BS. der letztern Krafft
Q. zu DM. dem Perpendicel auf die Direction CR.
der erstern Krafft P. Es Aequilibriren sich demnach die
Gewichte P. und Q. über dem Fulcro F. wenn die
Proportion Statt findet P : Q = DN : DM.
Diese Kräffte P. und Q. weil sie die Gleich-Wage mit einander
halten und keine
Bewegung hervorbringen, pfleget man Potentias zu
nennen; und die Per- |
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{Sp. 1702} |
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pendicular-Linien DN, DM, die aus dem Orte des Fulcri
D. auf die Directions Linien BS, CR, derer Kräffte Q.
P. herabgelassen worden sind, heissen Distantiae Potentiarum P. Q.
oder die Entfernungen derer Kräffte P. Q. |
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Weil demnach unter der Condition des Aequilibrii sich
verhält P : Q = DN : DM; so müssen die Kräffte P. Q. reciprocè
sich wie ihre Entfernungen DM, DN, verhalten, wenn sie die Gleich-Wage
mit einander halten
sollen. Weil P : Q = DN : DM; so ist auch PX DM
= QX DN, oder das Product aus der Krafft P. in ihre
Entfernung DM. so groß als das Product aus der Krafft Q.
in ihre Entfernung DN; da nun die Gleichheit dieser Producte
mit der Gleichheit des Vermögens selbiger Kräffte, in dem sie unter diesen
Umständen das Aequilibrium mit einander halten, combiniret
ist; so hat man bey Beurtheilung des Vermögens einer Krafft nicht nur auf ihre
Grösse allein, sondern auch auf die Art ihrer Adplication, oder ihre
Entfernung von demjenigen
Orte, gegen welchen sie einen Druck ausüben,
dergleichen das Fulcrum ist, zu sehen. |
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Das Product aus einer Krafft in ihre Entfernung von dem Fulcro
oder von dem Orte, gegen welchen sie einen Druck ausübet, wird Momentum
Potentiae, und so diese Krafft ein Gewichte ist, Momentum Ponderis
genennet. Also ist in voriger Figur PX. DM. das Momentum der
Krafft P; QX. DN. das Momentum der Krafft Q; und die
Gleichheit dieser Momentorum geben das gleich grosse Vermögen und den
Statum Aequilibrii zweyer Kräffte zu
erkennen. |
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Aus diesem Fundamente ließ es sich das Vermögen derer fünf
einfachen mechanischen Rüst-Zeuge, als des Hebels, der axis in
Peritrochio, der Trochleae, des Claui inclinati und der
Schraube
erklären und beurtheilen. Der
Titel Hebel
Tom.
XII. p. 976. seqq. ertheilet hiervon sattsammen
Unterricht; und
von der
Eigenschafft des Hebels lassen sich hernachmahls die Eigenschafften
derer übrigen Rüst-Zeuge herleiten. |
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Man pfleget aber die Kräffte die an diesen Rüst-Zeugen adpliciret
werden, gemeiniglich als Gewichte zu betrachten, und nennet alsdenn das grössere
Gewichte die Last, Lat. Pondus; das kleinere Gewichte hingegen, so mit
jener die Gleich-Wage hält, in einem besondern
Verstande die
Krafft,
Lat.
Potentia; daher auch dieselben Rüst-Zeuge Potentiae, und weil sie
mit denen Händen beweget werden können, Potentiae manuales sind
genennet worden. |
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Wenn nun das Aequilibrium zwischen der Krafft und der Last Statt
finden soll, so muß das Momentum der Krafft so groß seyn als das
Momentum der Last; oder es muß sich die Krafft zu der Last verhalten, wie
die Entfernung der Last, der Entfernung der Krafft. Dieses ist ein Haupt-Satz,
der bey allen mechanischen
Werckzeugen, an welchen nur einiger Massen die
Betrachtung eines Hebels angebracht werden kan, Statt findet. |
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Ausser diesen erweiset man auch noch überhaupt an allen denen Potentiis
manualibus, daß, wenn die Last und Krafft sich in denenselbigen bewegen
sollen, der
Raum,
den die Krafft in einer
gewissen Zeit durchlaufft, sich zu dem
Raume, durch welchen die Last sich in eben derselbigen Zeit |
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{Sp. 1703|S. 848} |
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beweget, verhalte, wie die Last zu der Krafft.
Z.E. wann die Last 4. Pfund,
die Krafft 1. Pfund, der Raum der Last 1. Fuß, so ist der Raum der Krafft 4.
Fuß; und wird folglich so viel Krafft erfordert, 1. Pfund durch 4. Fuß, als 4.
Pfund durch 1. Fuß zu bewegen. |
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Die Kräffte, so diese
Bewegung hervorbringen, sind in der Erzeugung
derselbigen unaufhörlich den
Cörper adpliciret, doch der
Gestallt, daß
dem Cörper hierdurch seine Bewegung nicht acceleriret, sondern
beständig der Cörper in einerley Bewegung erhalten werde, da immittelst die
adplicirte Krafft unaufhörlich den Wiederstand haben und dadurch die
Bewegung conserviren muß. Von solcher Beschaffenheit ist z.E. die
Bewegung eines Hebels, wenn man mit selbigen eine Last, ohne ihme eine
Geschwindigkeit zu communiciren, mit welcher er in der Bewegung, ohne
fernere Adplication der Krafft, verharren könnte, in die Höhe hebet. |
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In gleichen, wenn ein Pferd an einer Schleiffe zühet, da das Pferd in
jeglichen Puncten des Raums, durch welchen die Schleiffe von ihm gleichförmig
gezogen wird, eine neue Bemühung anwenden muß, die
Bewegung zu continuiren.
Hier bey dieser
Art der Bewegung, da die
bewegende Krafft dem Cörper beständig
adhaeriret, verhalten sich die bewegende Kräffte, wie die Räume, durch
welche sie bewegen; wenn nemlich die Räume ungleich, die Kräffte aber selbst
einander gleich sind. Also muß ein Pferd seine Bemühung dreymahl mehr
repliciren, wann es einen Cörper durch drey Fuß, als wenn es eben denselben
nur durch einen Fuß fortzühen soll; und gleicher Gestallt muß man eine viermahl
grössere Bemühung anwenden, einerley Gewichte durch vier Fuß als durch einen Fuß
gleichförmig zu heben. |
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Es wird bey dieser Art der
Bewegung
würcklich auch eine Geschwindigkeit, wie
bey andern Bewegungen, hervorgebracht, mit welcher auch der Cörper in seiner
Bewegung verharren könnte, wenn der grosse Wiederstand, welchen bey dem Hebel
die Last, bey der Schleiffe die Friction verursachet, auf dem
Erdboden
nicht vorhanden wäre, der diese hervorgebrachte Bewegung des Cörpers alsobald
wieder consumiret, und, in dem er sich durch ein unmerckliches
Spatium fortbeweget,
völlig destruiret; dahero wenn die Bewegung
von dem Cörper soll continuiret werden, so muß die agirende
Krafft des an dem Hebel hebenden
Menschens oder an der Schleiffe zühenden
Pferdes solche von neuen hervorbringen. |
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Wenn wir dasselbe unmerckliche Spatium als ein
Element des
Raums betrachten, so müssen in einem vorgegebenen
Raum, durch welchen sich der
Cörper beweget, so viel Bezeugungen von einerley
Bewegung (in dem die Bewegung
durch denselben Raum per
hypoth. gleichförmig ist) Statt finden, wie
viel Elementa in demselbigen Raum sich befinden, weil in jeglichen
Elemento Spatii wegen des Wiederstandes die Bewegung wieder consumiret
wird. |
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Es sey die Maße des Cörpers M, die von der Krafft ihm communicirte
Geschwindigkeit V; so ist MXV, die producirte
Bewegung, die aber nur durch ein Elementum Spatii
dauret und alsdenn
wieder destruiret ist. |
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{Sp. 1704} |
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Es sey S. der
Raum, durch welchem die
gantz Bewegung geschiehet,
dS. das Element desselbigen; so werden so viel MXV produciret,
wie viel dS in S. vorhanden sind, das ist, die Menge derer
Productionen ist MXVX Summam aller dS oder MXVXS.
Diese Menge giebt zu
erkennen, wie vielmahl die producirende Krafft
ihre Bemühung hat repliciren müssen, das ist, sie zeiget die gäntzliche
Bemühung der Krafft, die sie, um die Bewegung durch den Raum S. zu
vollführen, hat anwenden müssen; dahero exprimiret dasselbe Product
MXVXS in diesem Falle der Bewegung die Grösse der
bewegenden Krafft. |
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Wann die Zeit der
Bewegung
durch den
Raum S. T. genennet wird; so
ist, weil die Bewegung gleichförmig, die Geschwindigkeit V = S/T, siehe
Geschwindigkeit
Tom. X. p. 1234. seqq.
folglich VXT = S; dahero, weil zuvor die Grösse der
bewegenden Krafft
MXVXS war; so wird dieselbige auch so groß als MXVXVXT, oder
MXV2XT seyn; und gleicher
Gestallt, wird
bey einem andern Cörper, dessen Masse m ist, und der auf gleicher Art
mit einer Geschwindigkeit v, in der Zeit t, durch den Raum
S. beweget wird, die Grösse der bewegenden Krafft durch mxv2xt
exprimiret werden müssen. |
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Es
verhält sich dahero die
bewegende Krafft des Cörpers M. zu der
bewegenden Krafft des Cörpers m = MXV2XT : mxv2xt, oder wie MXV2
: mxv2, wenn die Zeiten T. t. einander gleich sind; in
welchen Falle der
Bewegung alsdann die Mensur derer Kräffte, nach der
Leibnitzianischen
Meynung, nach welcher eine jegliche bewegende Krafft durch das
Product aus der Masse in das Quadrat der Geschwindigkeit
ausgemässen werden soll, Statt findet; davon die
Ursache diese ist, daß die
Krafft unaufhörlich repliciret werden muß, um eine gleichförmige
Bewegung des Cörpers zu conserviren, welches in andern Fällen nicht
ist, da der Cörper durch seine einmahl erhaltene Geschwindigkeit Vi sua
Inertiae in der Bewegung perseveriret. |
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| Zusammenwirken der Kräfte (Forts.) |
Nun ist es Zeit auf unsere Compositiones und Decompositiones
Virium wieder zu kommen und deren
Nutzen in derjenigen
Art der
Bewegung zu
zeigen, da ein
Cörper, der nach einer geraden Linie fortgehen will, von einer
Vi centripeta eine krumme Linie zu beschreiben genöthiget wird. Hierzu
müssen besondere
Begrieffe zum Voraus gesetzet werden. |
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Es sey in |
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[Figur] |
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D. das Centrum Virium (z.E. wie wir oben ge- |
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{Sp. 1705|S. 849} |
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dacht, ein festgestellter Magnet) und in A sey ein Cörper (z.E. ein
Stück Eisen) gestellt, welcher von der Vi centripeta gegen D
nach der Linie AD urgiret, oder gleichsam gezogen wird. Wenn den Cörper
in A nichts zurücke hält, so muß er sich nach der Linie AD
würcklich bewegen. Man halte ihn aber vermittelst einer
gewissen Krafft, z.E.
durch Hülffe eines Fadens, daran ein Gewichte gebunden, zurücke; so wird die
Grösse dieser Krafft die Sollicitation zu
erkennen
geben, welche ihn gegen das Centrum Virium D zutreiben will. |
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Gleicher
Gestallt stelle man eben denselben Cörper in E, und
bemercke die Krafft, welche ihn zurücke zu halten fähig ist; so ist dadurch die
Grösse der Sollicitation bekannt; die den Cörper gegen D zu
bewegen sich bemühet, wenn er in E sich befindet. Und auf gleiche Art
bemercke man auch die Grösse der Sollicitation, wenn der Cörper in
K gestellet wird. |
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Wann man nun in denen Puncten A, E, K die Linien AQ, EB, KH
perpendicular aufrichtet, und ihnen eine solche Proportion giebet,
was für eine Verhältniß die Sollicitationes in selbigen Puncten A,
E, K gehabt haben, daß z.E. die Linie EB sich zu AQ
verhalte, wie die Sollicitation in E zu der Sollicitation
in A, oder, welches gleichviel ist, wie die Grösse der zurückhaltenden
Krafft in E zu der Grösse der zurückhaltenden Krafft in A; so
wird, wenn man dieses bey allen Puncten der Linie AD
verrichtet, sich
eine krumme Linie QBH erheben, an welcher sich alle Linien AQ, EB,
KH cet. terminiren, die durch ihre Größe zu denen respondirenden
Puncten A, E, K, cet. die Stärcke der Sollicitation exprimiren,
welche den Cörper, wenn er in selbigen Puncten seine
Bewegung
anfangen sollte,
in dem erstern instanti nach D zu bewegen anfangen würden. |
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Diese Curua QBH wird Curua oder Scala Sollicitationum
centralium genennet, in welcher die Ordinaten AQ, EB,. KH
die Stärcke derer Sollicitationen in denen
Örtern A, E, K,
oder in denen Entfernungen AD, ED, KD von dem Centro Virium
repraesentiren. Die Ordinaten selbst werden Sollicitationes
centrales genennet. |
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Wenn man den
Cörper in A
frey hinstellet, so wird die
Sollicitation in A ihn würcklich zu bewegen anfangen, daß er in
den nächst folgenden Puncte der Linie AD gelange, hier trifft er aber
eine neue Sollicitation an, ihn in den neu nächstfolgenden Punct zu
gehen zwinget, und so weiter. Da nun die
Würckung einer ieglichen
Sollicitation in den Cörper perseveriret, indem nichts vorhanden
ist, so solchen vernichte; so erhält derselbe Cörper in jeglichen Puncte der
Linie AD ein Wachsthum seiner
Bewegung, und wird seine Geschwindigkeit
immer grösser und grösser, indem die Sollicitationes in jeglichem
Puncte der Linie AD, durch welche er passiret, unaufhörlich
arbeiten. |
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| beschleunigende Kräfte |
Kräffte, die auf solche Art eine
Bewegung in einem
Cörper hervorbringen und
an selbigen continuirlich arbeiten, werden Vires indesinenter
agentes, die Bewegung selbst aber, weil die Geschwindigkeit immer
zunimmt, Motus acceleratus, und in Ansehung dessen dieselben Kräffte,
Vires oder Sollicitationes acceleratices, die Curua QBH
aber Scala Sollicitationum acceleratiricium genennet. |
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Man stelle den Cörper in K und gebe |
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{Sp. 1706} |
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ihme einen Stoß nach der Direction KA; so würde er seine
Bewegung
Motu uniformi nach dieser Direction fortsetzen, wenn nichts
vorhanden wäre, so ihm daran hinderlich fiele. Allein, da die Vires
centrales ihn im jeglichen Puncte der Linie KA nach D
zurücke ziehen; so wird auch unaufhörlich etwas von seiner Bewegung destruiret,
bis solche endlich gar vernichtet ist. Die Kräffte so dieses im jeglichen Puncte
der Linie KA thun, sind eben diejenigen, so in der Curua QBH
disponiret sind. |
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Weilen nun diese jetzo die
Bewegung des Cörpers, der sich von dem Centro
Virium D entfernen will, destruiren, und seine Geschwindigkeit
continuirlich vermindern; so werden sie in Ansehung dessen Vires
oder Sollicitationes die Curua QBH Retardartices, Scala
Sollicitationum retardatricium, und die Bewegung selbst Motus
retardatus genennet. |
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Wir haben oben gesehen, daß in einem instanti eine
Sollicitation gleichsam nur einen Punct einer
Würckung produciren
könne, hingegen ein
Element desselbigen, wenn sie durch ein Element
der Zeit arbeitet. Wenn daher eine jegliche Sollicitation F, das
Element der Zeit, durch welches sie arbeitet dt, und das
Element der Geschwindigkeit, welches sie produciret, dv
genennet wird (in dem wir hier die Maße des Cörpers nicht in Betrachtung ziehen
wollen;) so ist die elementar-Action fdt der hervorgebrachten Würckung
dv gleich, oder fdt = dv. Es muß aber in eben
derselbigen Zeit, da dieses dv erzeuget wird, der Cörper ein
Element des Raumes oder der Linie AD durchlauffen, welches wir
ds nennen wollen. |
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Wenn nun bereits der
Cörper durch die Action derer in dem Raume
AEBQ disponirten Sollicitationen, durch die Linie AE
beweget worden ist, und nun in E eine gewisse Geschwindigkeit, so V
heissen soll, und die aus allen denen elementar-Actionen erwachsen ist,
erhalten hat, so kan man
concipiren, als bewege sich der Cörper mit
dieser Geschwindigkeit v, durch das nächst anliegende Element
des Raums Ec gleichförmig; dahero weil dieses Element des
Raums ds, und das Element der Zeit,
in welcher der
Raum ds
durchlauffen wird, dt genennet worden, wird die Geschwindigkeit v
so groß seyn als ds/dt, oder v = ds/dt: welche Formel, wenn
man sie mit der vorhergehenden fdt = dv combiniret, die Formel fds
= vdv an die Hand giebet. |
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Das Product aus der Sollicitation f in das Elementum
Spatii ds
nennet Heumann Phoronom. Momentum
Sollicitationis, und das Product aus der erlangten Geschwindigkeit
v, in das Element derselbigen dv, welches erzeuget
wird, in dem der Cörper das nächstanliegende ds durchlauffet,
Momentum Celeritatis. Es ist hiervon ausführlicher unter dem
Titel
Geschwindigkeit l.c.
geredet und gezeuget worden, wie man aus
der Formel fds = vdv, wenn die Scala Sollicitationum QBH
gegeben wird, eine andere krumme Linie AVF gefunden werden könne, deren
ordinaten EF, KL, die in E, K, respectiue von dem
Cörper erlangten Geschwindigkeiten repraesentiren, und welche Curua
Celeritatum genennet wird; |
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{Sp. 1707|S. 850} |
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wie denn daselbst überhaupt
dargethan worden, daß das Qvadrat einer
jeglichen von diesen Ordinaten EF, KL, oder das Qvadrat
der erlangten Geschwindigkeit, so groß sey als der doppelte anliegende
Raum
AQBE, oder AQHK in der Scala Virium, das ist, EF
2 = 2 AQBE, KL 2 = 2 AQHK; daß folglich die Curua
Celeritatum die Quadratrix von der Curua Virium ist. |
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Hier
meynen diejenigen, so vor die Leibnitzianische Mensur derer
bewegende Kräffte, davon die
Historie bereits unter dem
Titel
Bewegende Krafft
Tom. IV. p. 1595. seqq. angeführet worden ist,
portiret sind, gnugsamen
Grund zu finden, diese ihre
Meynung zu
behaupten. Denn da sie sehen, daß das Qvadrat der in E
erlangten Geschwindigkeit EF der anliegenden Areae AQBE in der
Scala Virium proportioniret ist, diesen
Raum aber alle diejenigen
Kräffte ausfüllen, welche den Cörper durch AE acceleriret und folglich
die ihm zugewachsene Geschwindigkeit produciret haben; so betrachten
sie diesen Raum als die Größe der gäntzlichen Krafft, welche dem Cörper die
Bewegung gegeben; daher, weil derselbe Raum dem Qvadrate der erlangten
Geschwindigkeit proportioniret ist, so wollen sie auch dieses zur
Mensur der bewegenden Krafft machen; wie solches nach der Leibnitzianischen
Meynung seyn muß, wenn man die Maße des bewegten Cörpers nicht in Betrachtung
ziehet. |
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Allein es stecket hierunter eine starcke Amphibolie des
Worts einer
bewegenden Krafft. Wenn man alles dasjenige zu einer bewegenden Krafft rechnen
will, was etwas mit zur Production einer
Bewegung beyträgt, so ist es
wahr, daß alsdenn ermeldete Arca AQBE die
bewegende Krafft
vorstellet,
welche dem
Cörper die in E erhaltene Geschwindigkeit EF nach
und nach communiciret; Massen eine jegliche Sollicitation in
jeglichen Puncte der Linie AE das ihre zur Acceleration der
Bewegung beygetragen: Allein wenn man dasjenige die bewegende Krafft nennet, was
in dem Cörper würcklich die Geschwindigkeit hervorbringet; so ist dieses keines
Weges die Summe aller Kräffte, die durch den
Raum AQBE disponiret sind. |
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Wir haben oben gesehen, daß die Ordinaten der Scalae Virium
die Sollicitationes dergestallt repraesentiren, wie sie
die
Bewegung anfangen würden zu produciren, wenn der Cörper in
jeglichen Puncte der Line AD, welchem dieselbe Sollicitation
adhaeriret, in Ruhe wäre und sich nun zu bewegen anfangen sollte; keines
Weges aber repraesentiren diese Ordinaten ihre Energie
so wie sie solche erweisen, wenn der Cörper bereits durch die vorhergehenden
Sollicitationes in Bewegung ist gesetzet worden. |
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In diesem Falle können sie dem bewegten und gleichsam fliehenden Cörper ihre
gantze Energie nicht
mittheilen, und conferiren folglich nicht alles
dasjenige, was sie vermögen; dahero weil dieses, so bald man die Summe aller
durch AQBE disponirten Kräffte nach der Größe der Fläche AQBE
in
Erwegung ziehet, zugleich involviret, daß die gäntzliche Force
einer jeglichen Sollicitation consideriret werde; so erhellet von sich
selbst, daß die Fläche AQBE keines Weges diejenige Krafft vorstelle,
von welcher die Geschwindigkeit EF in |
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{Sp. 1708} |
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dem Cörper sey hervorgebracht worden. Es geben alle Mechanici zu,
daß nicht die Krafft oder Sollicitation selbst, sondern ihre
Action, das ist, ihr Adplication durch eine
gewisse Zeit, die
Bewegung in einem Cörper hervorbringe. |
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Wenn nun die Sollicitation f, das
Element der Zeit, durch
welches sie arbeitet, dt, ist; so ist die Elementar Action fdt,
und die gäntzliche Action innerhalb der Zeit t so groß
als S. fdt, da durch S. die Summe von allen fdt oder
Elementar Actionen
verstanden wird. Es produciret demnach das
fdt in dem
Cörper dv oder das Element der
Geschwindigkeit, keines Weges aber das fds; und die S. fdt die
Geschwindigkeit v, nicht aber die S. fds, welche so groß als ½
v 2 ist. |
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| lebendige Kraft |
Man leget dem Cörper eine lebendige Krafft bey, in so ferne derselbe eine
Bewegung hat, und dadurch
geschickt ist, einen andern Cörper wieder in Bewegung
zu setzen, wenn er an solchen anstösset. Diese lebendige Krafft wird demnach
zugleich mit der Bewegung in dem Cörper hervorgebracht, massen solche nicht eher
statt findet, als bis der Cörper sich beweget. Durch was vor eine Action
demnach der Cörper seine Bewegung erhält, durch eben dieselbige Action
muß die lebendige Krafft in ihm erreget werden; dahero weil die S. fdt
die Bewegung v hervorbringet; so ist von eben derselbigen S. fdt
die lebendige Krafft in dem Cörper entstanden; folglich S. fdt
dasjenige selbst, was von denen Sollicitationen in der Scala Virium
zur Erzeugung der Bewegung ist beygetragen worden, das ist, die
bewegende Krafft. |
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Diese demnach und die in dem Cörper entstandene lebendige Krafft,
so von
denen Leibnitzianern Vis viva, von denen Engländern vis impressa
genennet wird, differiren nur in dem Modo concipiendi von
einander. Die bewegende Krafft ist dasjenige, was von der Energie derer
Sollicitationen in der Scala Virium zur Erzeugung der
Bewegung
ist angewendet worden, das ist, die Action derer Sollicitationen
oder S. fdt; Die Vis impressa hingegen diejenige, die man dem
Cörper in so weit zuschreibet, in so ferne er von ermeldeter Action in
Bewegung ist gesetzet worden, und mit welcher Krafft er nun in dem
Zustande
seiner Bewegung verharret. Beyde haben zu ihrer Maße die Größe der Action,
welche die Sollicitationes in der Scala Virium verrichtet, und
da derselbigen die erzeugte Bewegung gleich ist , so erhellet, daß die Abmässung
derer
bewegenden und lebendigen Kräffte, durch die Größe der erzeugten Bewegung
angestellet werden müße. Wie sich die Sollicitationes in der Scala
Virium bey der Acceleration
verhalten, eben so erweisen sie sich,
wann sie Vires retardatices sind, und dasjenige, was das dv in
dem bewegten Cörer destruiret, ist nicht fds, sondern fdt. |
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Jacob Hermann Commentar. Petrop.
Tom. I. hat
vorangeführten
Beweiß von der Mensur derer
bewegende Kräffte durch die
Summam aller in der Scala Virium vorhandenen Sollicitationen
oder durch das Quadrat der Geschwindigkeit, in einer besonderen
Dissertation ausgeführet; und fast von gleicher Beschaffenheit ist auch des
J. Bernoulli
Demonstration, die er von der
Leibnitzianischen Mensur derer bewegenden Kräffte in seinem
Discours |
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{Sp. 1709|S.851} |
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sur les Loix de la Communication du mouvement giebet, in dem er
p. 21. die gäntzliche Krafft derer
Elaterum, die die
Bewegung
eines Cörpers acceleriren, anwendet, um die Erzeugung derselbigen zu
bewerckstelligen, eben wie Hermann hierzu die gäntzliche
Energie derer Sollicitationen in Scala Virium requiriret.
Mit beyden stimmet auch Gravesande in der
Disposition seiner Elastrorum überein; dahero durch
vorangeführtes die Unrichtigkeit dieser
Argumente auf einerley Art
gezeuget werden kann. Eine weitere Erzehlung ihrer Argumente giebet der
Titel Bewegende Krafft Tom. III. pag. 1595. seqq. |
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Dan. Bernouilli Commentar. Petrop. … der
doch sonst auch der Leibnitzianischen
Meynung zugethan ist,
erkennet selbst, daß
vorerwehnte
Beweis-Gründe derer Leibnitzianer keines Weges zulänglich sind. Er
sagt: Per mensuram Virium viuarum intelligo numerum elastrorum, quae corpus
tendere potest prius quam motum suum perdat. Diese
Definition kan
man als eine nominal-Definition passiren lassen; und ist dieses eben so
viel, als was wir oben
gesagt, daß einige durch die
bewegende Krafft die
Summam aller in der Scala Virium disponirten Sollicitationen,
welche entweder zur Acceleration in Motu accelerato, oder zur
Destruction in Motu retardato etwas beytragen,
verstehen. |
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Nach dem nun ermeldeter Bernoulli
gezeiget, daß, wie wir auch oben dargethan, fds = vdv und 2
S. fds = v2 sey; so inferiret er ferner, daß nach
seiner Definition die Vires Vivae wie die Qvadrate
derer Geschwindigkeiten seyn müssen, welches wir ihm in dem
Verstande, den seine
Definition hat, zugeben, eben wie wir oben
gesaget, daß die Qvadrate
derer Geschwindigkeiten denen Areis homologis in der Scala Virium
proportioniret sind; und solches niemand in
Zweifel ziehet. |
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Hierauf füget gedachter Bernoulli noch
folgendes hinzu: Sed unum ... [17 Zeilen lateinischer Text]. Hiermit
stimmet Bernoulli
völlig der
Meynung bey,
welche dasjenige, so die
Bewegung hervorbringet, und das nach der
Enunciation des Bernoulli die summa
omnium pressionum momentanearum, oder wie wir oben
gesagt, die Summe aller
elementar-Actionen oder die gäntzliche Action derer
Sollicitationen ist, denen erzeugten Geschwindigkeiten proportioniret
machet, wenn man hier die Betrachtung der Maße des bewegten Cörpers, bey Seite
setzet, wie wir bisher gethan haben. |
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Teil 5