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Quellenangaben |
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Gleichheit, Lateinisch Similitudo, ist, wenn eine
Sache mit einer
andern Sache übereinkommt. |
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Soll also eine
Übereinstimmung
Stat finden, so verstehet es sich, das
verschiedene,
wenigstens zwey Sachen da seyn
müssen, welche eine
Gleichheit haben. Es ist also die Gleichheit ein
Begriff, der sich
auf einen Gegenstand bezühet. |
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Es thut aber die Gleichheit entweder was zu denen wesentlichen oder denen
zufälligen Begriffen. Erstere gehet entweder auf den eigenthümlichen Begriff, und da
wird es mit der Differentia oder dem Proprio quarti modi einerley seyn; oder auf den
gemeinen, und das nennet man Genus. |
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Jene wird Similitudo absoluta oder omnimoda, diese aber Similitudo secundum quid
talis
genennet. Die zufällige
Gleichheit bestehet in Accidentibus, wenn
Dinge einander
gleich sind in Sachen, die ihr
Wesen nichts
angehen. |
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Es flüst aber aus abgehandelter
Eintheilung dieses, daß,
wo wesentliche Gleichheit anzutreffen, man daselbst von einem zum andern
zuverläßlich |
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{Sp. 1635|S. 835} |
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schlüssen, bey der zufälligen aber sich sehr betrügen
könne. So würde ich
irren, wenn ich zwey
Eyer vor mir hätte, welche zwar einander gleich aussähen, das eine aber ein
würckliches, das andere nur ein gedresseltes wäre, wenn ich schlüssen
wollte, daß mit
beyden das vorzunehmen, was mit
ordentlich von
Hühnern gelegten Eyern kann gemachet werden. Deswegen hat so eine Gleichheit an sich
weder in der
Demonstration noch
in der Probabilitaet einigen
Nutzen, ausser
daß, wenn man mit dem
Pöbel zu thun hat,
solches bey ihm einen Eindruck haben kann. |
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Weil nun aber eine Gleichheit entweder in der Qualität oder Quantität seyn kann,
so hat man die Similitudinem in die Similitudinem in specie, und in aequalem
eingetheilet, also, daß man unter der erstern die
Philosophische, unter der andern aber die mathematische
verstanden. |
Donati Metaph.
vsual. 16. |
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Es ist aber die Mathematische Gleichheit,
Lat.
Aequalitas, diejenige Beschaffenheit zweyer oder mehrerer Dinge, Vermöge welcher sie
der Gestallt mit einander übereinkommen, daß man eines an Stat des andern nehmen oder
substituiren kann, ohne daß dadurch eine
Veränderung an
der Grösse vorgehe.
Z.E. Man habe zwey
Stücken Bley, jedes von der Schwere eines Loths; so ist klar, daß man ein Loth Bley
bekomme, man mag das eine Stück nehmen oder das andere, und dahero sind ermeldete
Stücken Bley einander gleich, Massen man eines an die Stelle des andern setzen kann,
ohne die Grösse des Loths dadurch zu verändern. |
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Man pfleget die Grössen in der Mathematic mit
Buchstaben zu
bezeichnen, um daraus, gleichsam als aus ihren
Namen zu
verstehen, was man vor
eine
meyne. Z.E. man
vergleichet zwey Linien miteinander, so pfleget man die eine A, die andere B, oder
auch noch mit andern Buchstaben zu
nennen, um solche von
einander zu distinguiren: wenn nun von diesen bekannt gemacht wird, daß sie einander
gleich seyn
sollen, so
muß man solches dem
Verstande
durch ein
gewisses
Zeichen
begreifflich machen, sintemahl dem A und B man die Adfection der Gleichheit nicht
ansehen kann. |
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Das Zeichen der Gleichheit ist nun (=) dessen sich Hariot in Praxi Artis
Analyticac Sect. I. p. 10. zu erst bedienet, dem die meisten neuern folgen; da
hingegen andere mit dem Cartesio das Zeichen ([Sonderzeichen]) vor das Zeichen der
Gleichheit gebrauchen; vor dem Hariot aber findet man bey denen
Auctoribus kein Zeichen,
dessen sie sich bedienet hätte, die Gleichheit damit anzudeuten. |
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Auf solche Art heisset nun A = B so viel, als A ist dem B an Grösse gleich, u. so
pfleget man alle
Zeit die
Gleichheit zwischen zweyen Dingen zu bezeichnen. |
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Die Grundsätze od. Axiomata, aus welchen man die Gleichheit zweyer Dinge
darthun kan, sind
folgende: |
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1) Eine jede Grösse ist sich selbsten gleich. Hier wird eine Grösse
mit sich selbst verglichen, bey welcher Vergleichung kein
Unterscheid Stat
finden kann, Massen die Grösse einerley verbleibet: |
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2) Wenn zwey Grössen einer dritten gleich sind, so sind sie auch
unter sich einander gleich. Z. E. Es seyn drey Kugeln A, B, C, und es würde so wohl A
mit C als B mit C verglichen und befunden, daß A = C, ingleichen B = C, so können wir
Vermöge dieses Axiomatis
schlüssen,
daß auch A = B sey, und also hier C das dritte abgebe, dem so wohl A, als B, gleich
ist: |
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3) Wenn man gleiches zu gleichen addiret, so sind die Summen
einander gleich. Als |
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{Sp. 1836} |
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wenn A = B, C = D, so ist auch A und C. zusammen genommen so groß
als B und D, od. A + C = B + D: |
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4) Gleiches von gleichen abgezogen, läst gleiches übrig, also wenn
A = B, C = D, so ist auch die Differentz zwischen A und C, der Differentz zwischen B
und D gleich, oder A — C = B - D. |
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5) Gleiches durch gleiches multipliciret giebt gleiche Producte:
also ist unter voriger Hypothesi das Product aus A in C dem Producte aus B in D
gleich oder AxC = BxD. |
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6) Gleiches durch gleiches diuidiret, läst einen gleichen
Quotienten; z. E. der Quotiens, so aus der Diuision des A durch C entspringet, ist so
groß als der Quotiens herauskommt, wenn man B durch D diuidiret, das ist A=B. |
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7) Die Helfften von einerley Grösse sind einander gleich; und so
auch die, so das doppelte, dreyfache, vierfache etc. von einerley Grösse ausmachen.
Hierher gehöret auch der Grund-Satz von der Congruentia derer Grössen, wie dieser
Titel
ausweiset. |
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Diese Grund-Sätze haben ihren vortrefl.
Nutzen in der
Reduction derer Gleichungen; dahero wir selbige noch mit einigen
Exempeln in
Zahlen erläutern
wollen. |
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Vermöge des andern Grund-Satzes ist 7 + 3 = 12 - 2, denn 7 + 3 = 10 und 12 — 2 = 10. nach
n. 1. aber ist 10 = 10. u. eben Falls nach n. 1. ist 5 = 5. Hieraus folget, daß auch
nach dem dritten Grund-Satze sey 7 + 3 = 12 - 2 + 5. nach dem vierten 7 + 2 - 5 = 12 — 2 — 5. nach
dem fünfften (7 + 3) + 5 = (12 - 2) + 5. nach dem sechsten 7 + 3/5 = 12 - 2/5 und so weiter,
indem man nemlich mit denen gleichen Zahlen, 7 + 3. 12 22. 5. und fünffe die
Veränderungen nach denen ermeldeten Grund-Sätzen vornimmt. |
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Gleichwie man aber die Gleichheit zweyer Grössen erkannt, wenn man eine jede vor
die andere gantz substituiren könnte, ohne daß dadurch eine Veränderung in der Grösse
erfolgte; so erkennet man eine Ungleichheit zweyer Grössen, wenn man eine vor die
andere nicht
gantz auf eine solche Art
substituiren kann, sondern da sich nur ein
Theil der einen Grösse vor
die andere gantze substituiren läst; und auf solche Art ist bey ungleichen Grössen
nur ein Theil der einen der andern gantzen Grösse gleich. |
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Hieraus erwachsen die Begriffe von denen grössern und kleinern, da nemlich von
zweyen ungleichen Grössen, diejenige grösser genennet wird, wenn ein Theil von ihr
der andern gantzen Grösse gleich ist, hingegen kleiner, wenn sie gantz genommen nur
einem Theile der andern Grösse gleich kommt. |
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Auf solche Art müssen bey Vergleichung zweyer Grössen, dieselben entweder
einander gleich oder ungleich seyn. Sind sie ungleich, so ist die eine entweder
grösser oder kleiner als die andere; dahero findet man bey Vergleichung zweyer
Grössen, daß die eine entweder grösser, oder gleich, oder kleiner als die andere sey;
quartum non datur. Und aus diesem
Grunde kann man
auch die Gleichheit zweyer Grössen erweisen, wenn man darthut, daß die eine weder
grösser noch kleiner als die andere seyn könne, als woraus
nothwendig erfolget,
daß sie alsdenn einander gleich seyn müssen. |
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Dieser
Methode, die
Gleichheit nach dieser Art indirecte zu erweisen, bedienet man sich, wenn die
Demonstratio directa so weitläufftig fällt, und haben solche so wohl Euclides Elem.
XII. |
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{Sp. 1637|S. 836} |
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2. et. 10. als andere, besonders aber Archimedes gebraucht; daher sie auch
Methodus Archimedea, und von Renaldino Methodus per explosum excessum atque defectum
genennet wird. |
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Die
vornehmsten Grund-Sätze
von denen ungleichen Größen, in so ferne man solche durch gleiche verändert,
sind: |
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1) Gleiches zu ungleichen addiret, giebt ungleiche Summen: |
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2) Gleiches vor ungleichen subtrahiret, lässet ungleiche
Differentzien: |
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3) Gleiche Grössen von einer grössern oder kleinern abgezogen,
bringen die erste Differentz grösser als die andere. |
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Gleich wie man die Gleichheit durch ein gewisses Zeichen bemerkt, zu tut man auch
dieses mit dem größern und kleinern. |
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Das Zeichen des grössern, Signum Maioritatis ist >; das Zeichen des kleinern,
Signum Minoritatis ist <; demnach ist 9>5. oder 9 ist grösser als 5. und 5<9 oder 5.
ist kleiner als 9. Also ist nach dem ersten Grund-Satze 9+2 > 5+2. nach dem andern 9-
2 > 5-2. |
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Wenn in einer Expression zwei Grössen vorkommen, von denen undeterminiret ist,
welche von ihnen grösser oder kleiner sey; beydes aber Stat finden kann, so pfleget
man beyde Zeichen anzubringen, und ist a><b so viel als a entweder größer oder
kleiner als b. |
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| mit Gott |
Gleichheit mit Gott, siehe Mensch. |
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| der Menschen |
Gleichheit derer Menschen, siehe Mensch. |
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